Основные этапы нечеткого логического вывода. Прямой нечеткий логический вывод. Нечеткие нейронные сети

В задачах математического моделирования часто возникает задача описания переменных, представляющих качественные значения показателей, слабо формализуемых в дискретный набор значений Коротеев, М.В. Аналитическая дефаззификация нечётких чисел / Коротеев М.В. // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». Вып. 14: межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 10 (97). - C. 32-35.. Примером таких показателей может служить качество товара, эффективность работы учреждения, квалификация сотрудников и многие другие. В то же время, традиционно уровни таких показателей оцениваются качественно, с использованием экспертных оценок, формулируемых с помощью лингвистических понятий «низкий», «высокий», «очень высокий». Оперирование лингвистическими понятиями представляет определенную сложность, преодоление которой требует привлечения определенного математического аппарата.

Нами в наших исследованиях был выбран аппарат нечеткой логики, так как он предоставляет гибкую возможность вычислений в лингвистических термах, оперирование неопределенностью в условиях недостатка информации. Лингвистические переменные Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c. могут формализовать неточные, многозначные и неопределенные понятия. Это свойство весьма полезно для использования в экспертных системах, так как предоставляет методологию, позволяющую экспертам выражать свои знания в привычной для них лингвистической форме и оперировать ими как строгими математическими объектами. Далее, адаптируем алгоритм нечеткого вывода для использования в Байесовских сетях.

Центральным понятием нечеткого вывода является лингвистическая переменная - переменная, имеющая определенный набор лингвистических значений (термов), построенная на определенной области определения (обычно, действительном интервале) Murphy, Kevin (2002). Dynamic Bayesian Networks: Representation, Inference and Learning. UC Berkeley, Computer Science Division. Jensen Finn V. Bayesian Networks and Decision Graphs. -- Springer, 2001.. Для примера рассмотрим лингвистическую переменную «КАЧЕСТВО». Мы можем определить некий интегральный показатель качества, оценивающий качество в некоей шкале. Путем нормализации, практически любую шкалу мы можем привести в отрезок . В дальнейшем, будем использовать именно этот отрезок как иллюстрацию носителя в силу его универсальности и общеупотребимости.

Каждый уровень качества может быть охарактеризован как низкий, средний или высокий, но в разной степени. Этот набор является набором значений лингвистической переменной. Таким образом, каждому значению лингвистической переменной соответствует функция принадлежности где x - элемент области определения, определенная на области определения данной переменной. Эта функция показывает, насколько применимо в данной точке области определения данное значение. Функция принадлежности обычно принимает значения из интервала , где значение 0 показывает, что данное значение абсолютно не применимо в данной точке, а значение 1 говорит об абсолютной применимости данного значения. Набор данных функций называется нечетким классификатором Коротеев, М.В. Проектирование программной реализации носителей нечётких множеств / Коротеев М.В. // Объектные системы - 2011 (Зимняя сессия) : матер. V междунар. науч.-практ. конф. (Ростов-на-Дону, 10-12 дек. 2011 г.) / Шахтинский ин-т (филиал) ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) [и др.]. - Ростов н/Д, 2011. - C. 44-49.. В случае обычной четкой переменной, каждая точка области определения может принадлежать одному и только одному значению. В нечеткой логике, каждая точка принадлежит всем значениям, но в разной степени.

Простой нечеткий классификатор

На рисунке изображен нечеткий классификатор с тремя термами (слева направо: «низкий уровень», «средний уровень», «высокий уровень»). Носителем данной лингвистической переменной является отрезок (горизонтальная ось). Область значений функции принадлежности - также отрезок (вертикальная ось). Можно увидеть, что точка, например, 0,3 принадлежит терму «низкий уровень» со степенью принадлежности 0,5; «средний уровень» - с принадлежностью также 0,5, «высокий уровень» - с принадлежностью 0. Нестрого можно сказать, что данная точка не принадлежит терму «высокий уровень» вообще.

Для каждой точки области определения, сумма ее принадлежностей ко всем термам переменной равна 1

Для каждой точки области определения, существует не более двух и не менее одного терма, принадлежность к которым данной точки положительна.

Для каждого терма лингвистической переменной существует по меньшей мере одна точка, принадлежность которой к данному терму равна 1.

Нечеткий классификатор, не являющийся нечетким разбиением.

Рассмотрим алгоритм нечеткого логического вывода на примере алгоритма Мамдани Коротеев, М.В. Разработка арифметики нечётких чисел в общей форме / Коротеев М.В. // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». Вып. 13: межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 4 (91). - C. 122-127. . Допустим, существует две лингвистические переменные А и В, каждая из которых определена на интервале и принимает значения из множества {«low», «middle», «high»}, характеризующие качественный уровень показателя. Значения переменной В нечетко зависят от значений переменной А по следующему набору правил логического вывода (аналогично правилам четкого логического вывода):

Система правил нечеткого логического вывода

Исходя из этих данных, каждому правилу вывода присваивается вес, показывающий, в какой степени данное правило применимо при данном наблюдении:

Взвешенная система правил нечеткого логического вывода

В данном простом примере используем значения функций принадлежности как веса правил. Исходя из полученных результатов, переменная В примет значение, равное значению выражения |0.7*”high” + 0.3*”middle”|. Рассматривая каждый терм как НПМ, мы можем вычислить значение данного выражения. и оно гарантированно будет являться элементом области определения лингвистической переменной В. Кроме численного значения, в качестве результата процесса вывода может рассматриваться и нечетко-множественное представление в виде НПМ С = 0.7*”high” + 0.3*”middle”. В общем случае, для вычисления результата нечеткого логического вывода, достаточно вычислить веса всех термов целевой переменной.

Рассмотрим пример более сложного нечеткого вывода. Имеем три аналогичные переменные, А, В и С, где значение С зависит от значений А и В по следующему набору правил:

Система правил вывода для двух условных переменных

Как видно из таблицы, система правил нечеткого вывода использует аналогичный механизм, когда перечисляются все возможные назначения условных переменных в разделе ЕСЛИ, и каждому назначению из них. поставлено в соответствие назначение подусловной переменной в разделе ТО.

Вычислим значения весов правил как произведения соответствующих принадлежностей: В качестве оператора комбинации при вычислении весов правил в нечетком выводе применяются различные треугольные нормы, но мы воспользуемся самой простой функцией.

Взвешенная система правил вывода двух условных переменных

Понятие нечеткого вывода занимает важнейшее место в нечеткой логике Алгоритм Mamdani, Алгоритм Tsukamoto, Алгоритм Sugeno, Алгоритм Larsen, Упрощенный алгоритм нечеткого вывода, Методы приведения к четкости.

Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П1: если х есть A 1 , тогда у есть B 1 ,

П2: если х есть А 2 , тогда у есть В 2 ,

·················································

П n : если х есть А n , тогда у есть В n , где х — входная переменная (имя для известных значений дан-ных), у — переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В — функции принадлежности, определен-ные соответственно на x и у .

Пример подобного правила

Если х — низко, то у — высоко.

Приведем более детальное пояснение. Знание эксперта А → В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключе-ния, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозна-чить через R :

R = А → В,

где «→» называют нечеткой импликацией.

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х×У полного множества предпосылок X и заключений Y . Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В" с использованием данного наблюдения А" и знания А → В можно представить в виде формулы

В" = А" ᵒ R = А" ᵒ (А → В),

где «о» — введенная выше операция свертки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в ал-гебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый ре-зультат), но в любом случае общий логический вывод осуществля-ется за следующие четыре этапа.

1. Нечеткость (введение нечеткости, фазификация, fuzzifica-tion). Функции принадлежности, определенные на входных пере-менных применяются к их фактическим значениям для определе-ния степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

2. Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каж-дого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно исполь-зуются только операции min(МИНИМУМ) или prod(УМНОЖЕ-НИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежно-сти вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычислен-ной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлеж-ности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

3. Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вме-сте, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно использу-ются операции max(МАКСИМУМ) или sum(СУММА). При ком-позиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого под-множества конструируется как поточечный максимум по всем не-четким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества кон-струируется как поточечная сумма по всем нечетким подмноже-ствам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4. В заключение (дополнительно) — приведение к четкости (дефазификация, defuzzification), которое используется, когда по-лезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число. Име-ется большое количество методов приведения к четкости, некото-рые из которых рассмотрены ниже.

Пример .Пусть некоторая система описывается следующими нечет-кими правилами:

П1: если х есть А, тогда ω есть D,

П2: если у есть В, тогда ω есть Е,

П3: если z есть С, тогда ω есть F, где х, у и z — имена входных переменных, ω — имя переменной вывода, а А, В, С, D, Е, F— заданные функции принадлежности (треугольной формы).

Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. 1.9.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые кон-кретные (четкие) значения — х о, y о и z о.

В соответствии с приведенными этапами, на этапе 1 для данных зна-чений и исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степени истинности α (х о ), α (у о )и α (z o )для предпосылок каждого из трех при-веденных правил (см. рис. 1.9).

На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности за-ключений правил (т.е. D, Е, F) на уровнях α (х о ), α (у о ) и α (z o ).

На этапе 3 рассматриваются усеченные на втором этапе функции при-надлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмноже-ство, описываемое функцией принадлежности μ ∑ (ω) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной ω .

Наконец, на 4-м этапе — при необходимости — находится четкое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой μ ∑ (ω), т.е.

Рассмотрим следующие наиболее часто используемые модифи-кации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида:

П1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z есть C 1 ,

П2: если х есть А 2 и у есть В 2 , тогда z есть С 2 , где x и у — имена входных переменных, z — имя переменной вы-вода, A 1 , А 2 , B 1 , В 2 , C 1 , С 2 — некоторые заданные функции при-надлежности, при этом четкое значение z 0 необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений x 0 и у 0 .

Рис. 1.9. Иллюстрация к процедуре логического вывода

Алгоритм Mamdani

Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 1.9. В рассматриваемой ситуации он математически может быть описан следующим образом.

1. Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А 1 (x 0), А 2 (x 0), B 1 (y 0), В 2 (y 0).

2. Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для пред-посылок каждого из правил (с использованием операции МИНИМУМ)

α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0)

α 2 = A 2 (x 0) ˄ B 2 (y 0)

где через «˄» обозначена операция логического минимума (min), затем находятся «усеченные» функции принадлежности

3. Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (max, далее обозначаемой как «˅») производится объединение найден-ных усеченных функций, что приводит к получению итогового не-четкого подмножества для переменной выхода с функцией принад-лежности

4. Наконец, приведение к четкости (для нахождения z 0 ) прово-дится, например, центроидным методом.

Алгоритм Tsukamoto

Исходные посылки — как у пре-дыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функ-ции C 1 (z ), С 2 (z ) являются монотонными.

1. Первый этап — такой же, как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе сначала находятся (как в алгоритме Mam-dani) уровни «отсечения» α 1 и α 2 , а затем — посредством решения уравнений

α 1 = C 1 (z 1), α 2 = C 2 (z 2)

— четкие значения (z 1 и z 2 )для каждого из исходных правил.

3. Определяется четкое значение переменной вывода (как взве-шенное среднее z 1 и z 2 ):

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

Пример. Пусть имеем A 1 (x 0) = 0,7, A 2 (x 0) = 0,6, B 1 (y 0) = 0,3, В 2 (y 0) = 0,8, соответствующие уровни отсечения

a 1 = min (A 1 (x 0), B 1 (y 0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a 2 = min (А 2 (x 0), В 2 (y 0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z 1 = 8 и z 2 = 4, найденные в результате решения уравнений

C 1 (z 1) = 0,3 , C 2 (z 2) = 0,6.

Рис. 1.10. Иллюстрации к алгоритму Tsukamoto

При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 1.10)

z 0 = (8·0,3 + 4·0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритм Sugeno

Sugeno и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил):

П 1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z 1 = а 1 х + b 1 у,

П 2: если х есть A 2 и у есть В 2 , тогда z 2 = a 2 x + b 2 y .

Представление алгоритма

2. На втором этапе находятся α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0), α 2 = А 2 (x 0) ˄ В 2 (у 0) и индивидуальные выходы правил:

З. На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

Иллюстрирует алгоритм рис. 1.11.

Рис. 1.11. Иллюстрация к алгоритму Sugeno

Алгоритм Larsen

В алгоритме Larsen нечеткая импли-кация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале нахо-дятся значения

α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0),

α 2 = А 2 (x 0) ˄ В 2 (y 0),

а затем — частные нечеткие подмножества

α 1 C 1 (z ), a 2 C 2 (z ).

3. Находится итоговое нечеткое подмножество с функцией при-надлежности

μ s (z )= С (z )= (a 1 C 1 (z )) ˅ (a 2 C 2 (z ))

(в общем случае n правил).

4. При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется рис. 1.12.

Рис. 1.12. Иллюстрация алгоритма Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Исходные пра-вила в данном случае задаются в виде:

П 1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z 1 = c 1 ,

П 2: если х есть А 2 и у есть В 2 , тогда z 2 = с 2 , где c 1 и с 2 — некоторые обычные (четкие) числа.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе находятся числа α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0), α 2 = A 2 (x 0) ˄ B 2 (y 0).

3. На третьем этапе находится четкое значение выходной пе-ременной по формуле

или — в общем случае наличия n правил — по формуле

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Иллюстрация упрощенного алгоритма нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

1. Выше уже был рассмотрен один из данных методов — троидный. Приведем соответствующие формулы еще раз.

Для непрерывного варианта:

для дискретного варианта:

2. Первый максимум (First-of-Maxima). Четкая величина пере-менной вывода находится как наименьшее значение, при котором достигается максимум итогового нечеткого множества, т.е. (см. рис. 1.14а)

Рис. 1.14. Иллюстрация к методам приведения к четкости: α — первый максимум; б — средний максимум

3. Средний максимум (Middle-of-Maxima). Четкое значение находится по формуле

где G — подмножество элементов, максимизирующих С (см. рис. 1.14 б).

Дискретный вариант (если С — дискретно):

4. Критерий максимума (Max-Criterion). Четкое значение вы-бирается произвольно среди множества элементов, доставляющих максимум С, т. е.

5. Высотная дефазификация (Heightdefuzzification). Элементы области определения Ω для которых значения функции принад-лежности меньше, чем некоторый уровень α в расчет не принима-ются, и четкое значение рассчитывается по формуле

где Сα — нечеткое множество α -уровня (см. выше).

Нисходящие нечеткие выводы

Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере.

Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности ав-томобиля с именами переменных:

х 1 — неисправность аккумулятора;

x 2 — отработка машинного масла;

y 1 — затруднения при запуске;

y 2 — ухудшение цвета выхлопных газов;

y 3 — недостаток мощности.

Между x i и y j существуют нечеткие причинные отношения r ij = x i → y j , которые можно представить в виде некоторой ма-трицы R с элементами r ij ϵ . Конкретные входы (предпо-сылки) и выходы (заключения) можно рассматривать как нечет-кие множества А и В на пространствах X и Y . Отношения этих множеств можно обозначить как

В = А ᵒ R ,

где, как и раньше, знак «о» обозначает правило композиции не-четких выводов.

В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т.е. в случае диагностики име-ется (задана) матрица R (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симптомы) и определяются входы А (или факторы).

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

В = 0,9/y 1 + 0,1/у 2 + 0,2/у 3 .

Требуется определить причину такого состояния:

А = a 1 /x 1 + a 2 /x 2 .

Отношение введенных нечетких множеств можно представить в виде

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов:

При использовании (max-mix)-композиции последнее соотно-шение преобразуется к виду

0,9 = (0,9 ˄ α 1) ˅ (0,6 ˄ α 2),

0,1 = (0,1 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2),

0,2 = (0,2 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2).

При решении данной системы заметим прежде всего, что в первом уравнении второй член правой части не влияет на правую часть, поэтому

0,9 = 0,9 ˄ α 1 , α 1 ≥ 0,9.

Из второго уравнения получим:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α 2 , α 2 ≤ 0,1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, та-ким образом имеем:

0,9 ≤ α 1 ≤ 1,0, 0 ≤ α 2 ≤ 0,1,

т.е. лучше заменить аккумулятор (α 1 — параметр неисправности аккумулятора, α 2 — параметр отработки машинного масла).

На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество переменных может быть существенным, могут одновременно ис-пользоваться различные композиции нечетких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения по-добных задач в настоящее время, по-видимому, не существует.

Говоря о нечеткой логике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые широко используются для управления техническими устройствами и процессами. Разработка и применение систем нечетко вывода включает в себя ряд этапов, реализация которых выполняется с помощью рассмотренных ранее основных положений нечеткой логики.

Основные этапы формирования нечеткого вывода:

Формирование базы правил систем нечеткого вывода.

Фаззификация входных переменных.

Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций.

Активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций.

Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.

Ниже рассмотрим основные особенности каждого из этих этапов.

1.2.1 Формирование базы правил нечеткого вывода

База правил системы нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний или знаний экспертов в той или иной проблемной области. В системах нечеткого вывода используются правила нечетких продукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких лингвистических высказываний рассмотренных выше видов. Совокупность таких правил будем далее называть базами правил нечетких продукций.

База правил нечетких продукций представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных. Наиболее часто база правил представляется в форме структурированной текста:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "Условие_1", ТО "Заключение_1"

ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "Условие_2", ТО "Заключение_2" (1.2)

ПРАВИЛО_N: ЕСЛИ "Условие_N", ТО "Заключение_N"

Согласованность правил относительно используемых лингвистических переменных означает, что в качестве условий и заключений правил могут использоваться только нечеткие лингвистические высказывания представленные в пункте 1.1.2, при этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терм-множества для каждой из лингвистических переменных.

В системах нечеткого вывода лингвистические переменные, которые используются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто называют входными лингвистическими переменными, а переменные, которые используются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продукций, часто называют выходными лингвистическими переменными.

1.2.2. Фаззификация

В контексте нечеткой логики под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс или процедура нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных исходных данных. Фаззификацию еще называют введением нечеткости.

Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной.

П р и м е р 1.1 Для иллюстрации выполнения этого этапа рассмотрим пример процесса фаззификации трех нечетких высказываний: "скорость автомобиля малая", "скорость автомобиля средняя", "скорость автомобиля высокая" для входной лингвистической переменной β1 - скорость движения автомобиля. Им соответствуют нечеткие высказывания первого вида: " β1есть α1 ", " β2есть α2 ", " β3есть α3 ". Предположим, что текущая скорость автомобиля 55 км/ч. Тогда фаззификация первого нечеткого высказывания и третьего дает в результате число 0, второго 0.67.

Рисунок 1.1 - Пример фаззификации входной лингвистической переменной "скорость автомобиля" для трех нечетких высказываний.

Выше было определено, что правила СИИ формулируются экспертом. Но эксперт не всегда может точно определить, произойдет какое – либо событие, или нет. Например, врач ставит на основании своих наблюдений над пациентом определенный диагноз. Опыт врача во многих случаях с большой точностью позволяет определить заболевание пациента. Но он может и ошибиться, поэтому часто рассматриваются и другие диагнозы.

Люди не всегда могут ответить на вопросы точно. Можно ли узнать, какая у человека температура, если он говорит, что слегка заболел? Скорее всего, нет. Такие слова, как высокий, горячий и легкий, представляют собой лингвистические переменные , которые нельзя определить одним значением.

Лингвистическая переменная состоит из названия переменной , например, ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА и ее значений, например, РАСТЕТ, ПАДАЕТ.

Использование этих понятий при формулировании правил называется нечеткой логикой.

Нечеткий логический вывод может рассматриваться как расширение обычного логического вывода. В обычном логическом выводе производится применение некоторых правил логического вывода (которые считаются истинными) к некоторым посылкам (которые также считаются истинными), что в результате дает выводы, считающиеся достоверными. В нечетком же логическом выводе и исходные посылки, и правила вывода могут иметь произвольный уровень истинности в промежутке от 0 до 1, соответственно и получаемые результаты также могут быть более или менее достоверны.

В качестве примера рассмотрим влияние квартирной платы и цен на продукты питания на уровень жизни семьи. Это влияние описывается следующими утверждениями.

1. ЕСЛИ К_П незначительно растет, ТО У_Ж_1 незначительно падает. (m = 0.9)

2. ЕСЛИ К_П незначительно растет, ТО У_Ж_1 не падает. (m = 0.1)(Если перестают платить)

3. ЕСЛИ К_П значительно растет, ТО У_Ж_1 значительно падает. (m = 0.5)

4. ЕСЛИ К_П значительно растет, ТО У_Ж_1 не падает. (m = 0.5)

5. ЕСЛИ Ц_П незначительно растут, ТО У_Ж_2 незначительно падает. (m = 1)

6. ЕСЛИ Ц_П значительно растут, ТО У_Ж_2 значительно падает. (m = 1)

7. ЕСЛИ У_Ж_1 незначительно падает И У_Ж_2 незначительно падает, ТО У_Ж незначительно падает. (m = 1)

8. ЕСЛИ У_Ж_1 незначительно падает И У_Ж_2 значительно падает ИЛИ У_Ж_1 значительно падает И У_Ж_2 значительно падает, ТО У_Ж значительно падает. (m =1)

9. ЕСЛИ У_Ж_1 значительно падает И У_Ж_2 значительно падает, ТО У_Ж очень значительно падает. (m = 1)

Условия К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ и К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ являются размытыми и выражаются в зависимости от количества процентов роста p следующими формулами.

При 0 < p < 2 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = p / 2.

При 2 < p < 4 m

При 4 < p < 10 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = (10 - p ) / 6.

При p > 10 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 1.

При p < 5 m (К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 0.

При 5 < p < 15 m (К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = (p - 5) / 10.

При p > 15 m (К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 1.

Условия Ц_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ и Ц_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ также являются размытыми и выражаются формулами

При 0 < p < 1 m (Ц_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = p .

При 1 < p < 5 m (Ц_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = (5 - p ) / 4.

При 0 < p < 10 m (Ц_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = p / 10.

При p > 10 m (Ц_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = 1.

При использовании нечеткой логики для каждой формулы вводятся целый спектр возможных значений, лежащих между 0 (ЛОЖНО) и 1 (ИСТИННО), и правила вычисления этих значений. Вычисленные таким образом значения определяют степень истинности формул. Рассмотрим основополагающие понятия нечеткого множества и функции принадлежности.

Рассмотрим такие понятия, как «растет» и «падает». Отнесем эти понятия к переменным ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА и РУБЛЬ. Применительно к переменной ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА понятие роста может означать повышение уровня цен на бирже на 10 – 30 пунктов по индексу Доу-Джонса, а применительно к переменной РУБЛЬ означает повышение курса рубля по сравнению с какой-либо другой валютой в 20 – 30 раз. В таком контексте слово «растет» называется значением лингвистической переменной . Лингвистическая переменная может принимать различные значения из некоторого интервала, границы которого могут меняться в зависимости от обстоятельств. Например, границы интервала для лингвистической переменной «холодный» могут меняться в зависимости от того, идет ли речь о зиме или весне.

Понятие «падает» – также лингвистическая переменная, использующаяся в правилах, описывающих фондовую биржу. Применяя лингвистические переменные, можно вычислить значения некоторых вероятностей, не обременяя пользователя лишними вопросами. Для этого необходимо несколько конкретизировать лингвистические переменные. Пользователю экспертной системы нужно позволить добавлять к этим переменным определения, например маленький или средний. Пользователь может задать маленькое повышение курса рубля, и экспертная система должна точно знать, что под этим подразумевается.

Рассмотрим правило:

ЕСЛИ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ – ПАДАЮТ И НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ, ТО УРОВЕНЬ ЦЕН НА БИРЖЕ – РАСТЕТ.

Это правило верно не всегда, поэтому можно ему приписать значение некоторого числа m, изменяющегося от 0 до 1. Такое число называют функцией принадлежности μ .

Пусть функция принадлежности данного правила равна 0,9, т.е. вероятность того, что при падении процентных ставок и уменьшении налогов уровень цен на бирже будет падать равна 0.9.

Но выполнение правила зависит от выполнения условий ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ ПАДАЮТ и НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ, что происходит не всегда.

Пусть функция принадлежности лингвистической переменной ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ ПАДАЮТ равна 0.6, а функция принадлежности лингвистической переменной НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ равна 0.8.

Тогда правило можно записать так:

ЕСЛИ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ ПАДАЮТ (μ - 0.6) И

НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ (μ - 0.8), ТО УРОВЕНЬ ЦЕН НА БИРЖЕ - РАСТЕТ (μ правила - 0.9)

Функция принадлежности того, что уровень цен на бирже будет действительно расти может быть подсчитан следующим образом: выбирается минимальная функция принадлежности для условий части ЕСЛИ правила, разделенных логическим оператором И, и умножается на функцию принадлежности для всего правила. Для приведенного примера: (minimum (0.6, 0.8))*0.9=0.54

Следовательно, при μ - 0,54 можно сказать, что уровень цен на бирже будет падать.

Если в условной части правила имеется логический оператор ИЛИ, то μ для этого вывода нужно выбрать максимальной из μ для вывода первого правила и μ для вывода второго правила. На первый взгляд все это кажется очень сложным, поэтому разберем пример. Прежде всего сформулируем общие принципы.

1.Выбрать максимальное значение μ из μ для условий правила, разделенных логическим оператором И.

2.Если в правиле есть оператор ИЛИ, выбрать максимальное значение из μ для всех условий правила, разделенных оператором И для всех условий, связанных оператором ИЛИ.

3.Умножить выбранный μ на μ правила.

4.Если существует несколько правил с одинаковым логическим выводом, выбрать из всех полученных μ максимальный.

Рассмотрим два правила с одним и тем же логическим выводом С:

ЕСЛИ А (μ =0,3) И В (μ =0.6), ТО С (μ=0.5)

ЕСЛИ D (μ =0.4) И Е (μ =0,7), ТО С (μ=0.9)

В приведенных правилах μ для логического вывода С подсчитывается следующим образом:

maximum ((minimum(0.3,0.6)*0.5), (minimum (0.4,0.7) *0.9)) =

Maximum (03*0.5),(0.4*0.9)) = maximum (0.15,0.36) = 0.36

Возьмем пример с использованием логического оператора ИЛИ:

ЕСЛИ А (μ=0.3) И В (μ=0.6) ИЛИ D (μ=0.5), ТО С (μ=0.4)

В этом примере μ для логического вывода С считается так:

maximum (minimum (0.3,0.6), 0.5)*0.4)= maximum (0.3,0.5)*0.4=0.5*0.4=0.2.

Во многих случаях изначально заданы граничные значения функции принадлежности. Логический вывод считается верным только в том случае, если его μ превышает заранее заданные граничные значения. Работа с базой знаний продолжается до тех пор, пока значение функции принадлежности логического вывода больше граничного значения. В процессе работы выполняются определенные вычисления. Предположим, для частного логического вывода μ равно 0,4. Это значение запоминается. Затем оно сравнивается с граничным значением μ (допустим, что оно равно 0,8). Запомненное значение оказалось меньше граничного, и, значит, работа с базой знаний продолжается. Если при работе с базой знаний встретился тот же самый логический вывод, μ для новой μ и результат прибавляется к запомненному ранее μ. Значение μ , равное 1, свидетельствует об абсолютной уверенности в правильности вывода. Затем вновь запомненное значение μ сравнивается с граничным, и если оно больше, выполняется логический вывод, в противном случае, работа с базой знаний продолжается. Вышесказанное можно записать с помощью равенства:

Запомненный μ = Ранее запомненный μ + (1-Ранее запомненный μ)*μ нового правила.

Например:

Граничное значение μ=0,8

Правило: ЕСЛИ А, ТО В (μ=0,6)

Запомненный μ: 0,6

Новое правило: ЕСЛИ С, ТО В (μ=0,7)

Запомненный μ=0.6+(1-0,6)*0,7=0,88 (граничные значения превышены, и выполняется вывод).

Вопросы для самопроверки к главе 3:

1.Может ли быть в задачах рассуждений в пространстве состояний среды несколько целевых состояний?

2.Можно ли решить задачу рассуждений в пространстве состояний среды, рассматривая на каждом шаге два действия из четырех возможных?

3.Могут ли возможные действия меняться в процессе решения задачи в пространстве состояний среды?

4.При решении нечеткой задачи рассуждений в пространстве состояний среды ответ получаем детерминированный или вероятностный?

5.Может ли функция принадлежности принимать значение, большее единицы?

Тесты к главе 3.

1. Цель поиска:

А) нахождение целевого состояния, Б) нахождение промежуточного состояния, В) нахождение очередного состояния.

2.Поиск, вывод и рассуждение – это

А) одно и то же действие, Б) различные действия, В) ничего общего с действиями не имеют.

3. При нечеткой логике лингвистическая переменная может принимать

А) одно из двух значений «истинно» или «ложно», Б) множество значений внутри заданного интервала, В) одно значение.

4.Постановкой задачи называют

А) Задание всех возможных состояний, Б) задание всех возможных действий, В) задание всех возможных действий и состояний.

5. Если в условной части правила имеется логический оператор ИЛИ, то функцию принадлежности μ для вывода нужно выбрать

А) максимальной из μ для вывода первого правила и μ для вывода второго правила, Б) минимальной, В) функция принадлежности вывода не зависит от функций принадлежности от функций первого и второго правила

П1: если х есть A 1 , тогда у есть B 1 ,

П2: если х есть А 2 , тогда у есть В 2 ,

·················································

Пример подобного правила

Если х — низко, то у — высоко.

R = А → В,

где «→» называют нечеткой импликацией.

В" = А" ᵒ R = А" ᵒ (А → В),

где «о» — введенная выше операция свертки.

Пример .Пусть некоторая система описывается следующими нечет-кими правилами:

П1: если х есть А, тогда ω есть D,

П2: если у есть В, тогда ω есть Е,

Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. 1.9.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые кон-кретные (четкие) значения — х о, y о и z о.

П1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z есть C 1 ,

Рис. 1.9. Иллюстрация к процедуре логического вывода

Алгоритм Mamdani

1. Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А 1 (x 0), А 2 (x 0), B 1 (y 0), В 2 (y 0).

α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0)

α 2 = A 2 (x 0) ˄ B 2 (y 0)

4. Наконец, приведение к четкости (для нахождения z 0 ) прово-дится, например, центроидным методом.

Алгоритм Tsukamoto

1. Первый этап — такой же, как в алгоритме Mamdani.

α 1 = C 1 (z 1), α 2 = C 2 (z 2)

— четкие значения (z 1 и z 2 )для каждого из исходных правил.

3. Определяется четкое значение переменной вывода (как взве-шенное среднее z 1 и z 2 ):

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

Пример. Пусть имеем A 1 (x 0) = 0,7, A 2 (x 0) = 0,6, B 1 (y 0) = 0,3, В 2 (y 0) = 0,8, соответствующие уровни отсечения

a 1 = min (A 1 (x 0), B 1 (y 0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a 2 = min (А 2 (x 0), В 2 (y 0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z 1 = 8 и z 2 = 4, найденные в результате решения уравнений

C 1 (z 1) = 0,3 , C 2 (z 2) = 0,6.

Рис. 1.10. Иллюстрации к алгоритму Tsukamoto

При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 1.10)

z 0 = (8·0,3 + 4·0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритм Sugeno

Sugeno и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил):

П 1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z 1 = а 1 х + b 1 у,

П 2: если х есть A 2 и у есть В 2 , тогда z 2 = a 2 x + b 2 y .

Представление алгоритма

2. На втором этапе находятся α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0), α 2 = А 2 (x 0) ˄ В 2 (у 0) и индивидуальные выходы правил:

З. На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

Иллюстрирует алгоритм рис. 1.11.

Рис. 1.11. Иллюстрация к алгоритму Sugeno

Алгоритм Larsen

В алгоритме Larsen нечеткая импли-кация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале нахо-дятся значения

α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0),

α 2 = А 2 (x 0) ˄ В 2 (y 0),

а затем — частные нечеткие подмножества

α 1 C 1 (z ), a 2 C 2 (z ).

3. Находится итоговое нечеткое подмножество с функцией при-надлежности

μ s (z )= С (z )= (a 1 C 1 (z )) ˅ (a 2 C 2 (z ))

(в общем случае n правил).

4. При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется рис. 1.12.

Рис. 1.12. Иллюстрация алгоритма Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Исходные пра-вила в данном случае задаются в виде:

П 1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z 1 = c 1 ,

П 2: если х есть А 2 и у есть В 2 , тогда z 2 = с 2 , где c 1 и с 2 — некоторые обычные (четкие) числа.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе находятся числа α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0), α 2 = A 2 (x 0) ˄ B 2 (y 0).

3. На третьем этапе находится четкое значение выходной пе-ременной по формуле

или — в общем случае наличия n правил — по формуле

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Иллюстрация упрощенного алгоритма нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

1. Выше уже был рассмотрен один из данных методов — троидный. Приведем соответствующие формулы еще раз.

Для непрерывного варианта:

для дискретного варианта:

Рис. 1.14. Иллюстрация к методам приведения к четкости: α — первый максимум; б — средний максимум

3. Средний максимум (Middle-of-Maxima). Четкое значение находится по формуле

где G — подмножество элементов, максимизирующих С (см. рис. 1.14 б).

Дискретный вариант (если С — дискретно):

где Сα — нечеткое множество α -уровня (см. выше).

Нисходящие нечеткие выводы

Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности ав-томобиля с именами переменных:

х 1 — неисправность аккумулятора;

x 2 — отработка машинного масла;

y 1 — затруднения при запуске;

y 2 — ухудшение цвета выхлопных газов;

y 3 — недостаток мощности.

В = А ᵒ R ,

где, как и раньше, знак «о» обозначает правило композиции не-четких выводов.

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

В = 0,9/y 1 + 0,1/у 2 + 0,2/у 3 .

Требуется определить причину такого состояния:

А = a 1 /x 1 + a 2 /x 2 .

Отношение введенных нечетких множеств можно представить в виде

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов:

При использовании (max-mix)-композиции последнее соотно-шение преобразуется к виду

0,9 = (0,9 ˄ α 1) ˅ (0,6 ˄ α 2),

0,1 = (0,1 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2),

0,2 = (0,2 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2).

0,9 = 0,9 ˄ α 1 , α 1 ≥ 0,9.

Из второго уравнения получим:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α 2 , α 2 ≤ 0,1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, та-ким образом имеем:

0,9 ≤ α 1 ≤ 1,0, 0 ≤ α 2 ≤ 0,1,

Компьютерные подсказки для начинающих пользователей

Алгоритм Mamdani

Алгоритм Tsukamoto

Алгоритм Sugeno

Алгоритм Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

Нисходящие нечеткие выводы

1.2.1 Формирование базы правил нечеткого вывода

1.2.2. Фаззификация

Алгоритм Mamdani

Алгоритм Tsukamoto

Алгоритм Sugeno

Алгоритм Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

Нисходящие нечеткие выводы

СХОЖИЕ СТАТЬИ